Question

設函數f（x）=x³-ax，x∈R．過圖象上一點斜率最小的切線平行于直線x+y=2．
（1）求a的值；
（2）求函數f（x）的單調區間和極值；
（3）已知當x∈（1，+∞）時，f（x）-kf（x-1）≥0恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）=x³-ax，x∈R，得f′（x）=3x²-a≥-a，由過圖象上一點斜率最小的切線的斜率k=-a和過圖象上一點斜率最小的切線平行于直線x+y=2，能求出a．
（2）由（1）知f（x）=x³-x，f′（x）=3x²-1，令f′（x）=3x²-1=0，得x=．列表討論能求出函數f（x）的單調區間和極值．
（3）由f（x）-kf（x-1）≥0，f（x）=x³-x，得k≤==1+，由此能求出k有范圍．
解答：解：（1）∵f（x）=x³-ax，x∈R，
∴f′（x）=3x²-a≥-a，
∴過圖象上一點斜率最小的切線的斜率k=-a，
∵過圖象上一點斜率最小的切線平行于直線x+y=2，
∴-a=-1，故a=1．
（2）∵a=1，∴f（x）=x³-x，f′（x）=3x²-1，
令f′（x）=3x²-1=0，得x=．
列表討論：

x	（-∞，-）	-	（-，）		（，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

由表討論知：函數f（x）的單調增區間是 （-∞，-）、（，+∞）；單調減區間是（-，）．
極大值f（-）=-+=，
極小值f（）==-．
（3）∵f（x）-kf（x-1）≥0，f（x）=x³-x，
∴k≤=
=
=
=1+，
∵x∈（1，+∞），
當1＜x＜2時，-2＜1+＜1
當x=-2時，1+＜+∞，
當x＞2時，1+＞1
∴k≤-2．
點評：本題考查實數值的求法，考查單調區間和極值的求法，考查實數的取值范圍的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意列表討論法和分離變量法的靈活運用．