Question

如果正△ABC中，D∈AB，E∈AC，向量

DE

=

1

2

BC

，那么以B，C為焦點且過點D，E的雙曲線的離心率是

 

．

Answer 1

分析：設正△ABC的邊長為2c，以BC所在直線為x軸，以BC的中垂線為y軸，建立直角坐標系，則E的坐標為（

c

2

，

3

2

c），由題意知可設雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，把E的坐標代入雙曲線的方程化簡可得4a⁴-8a²c²+c⁴=0，求得

c2

a2

的值，即可得到

c

a

的值．

解答：解：由向量

DE

=

1

2

BC

，可得DE是△ABC的中位線，
設正△ABC的邊長為2c，以BC所在直線為x軸，以BC的中垂線為y軸，建立直角坐標系，
則E的坐標為（

c

2

，

3

2

c），
由題意知可設雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，
把E的坐標代入雙曲線的方程得

c2

4a2

-

3c2

4b2

=1，∴4a⁴-8a²c²+c⁴=0，
∵

c2

a2

＞1，∴

c2

a2

=4+2

3

，∴

c

a

=

3

+1，
故答案為：

3

+1．

點評：本題考查雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用，求出E的坐標為（

c

2

，

3

2

c），是解題的關鍵．