Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，，為邊長為的等邊三角形，．

(1) 證明：平面 平面；

（2）求二面角的平面角的大小．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）取中點，利用等腰直角三角形可得，連，利用勾股定理可證明 ，結合可得平面，利用面面垂直的判定定理可得結果；（2）以為原點，、、分別為軸建立空間直角坐標系，利用向量垂直數量積為零列方程組求出平面與平面的法向量，由空間向量夾角余弦公式可得結果.

（1）△ACD中，，

由余弦定理可得，，故，

所以，且△ACD為等腰直角三角形．

取CD中點O，由AC=AD得，AO⊥CD

連PO，PA⊥CD，

所以CD⊥平面POA

所以CD⊥PO

又AO=1，PO=1，

所以，，

,

所以PO⊥平面ABCD

又PO平面PCD

所以平面PCD⊥平面ABCD．

（2）以O為原點，OD、OA、OP分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，

則，，，

設平面PAB的法向量，，

令，則，所以

同理，平面PBC的法向量

故，．

所以，二面角A-PB-C的平面角為90°．