Question

已知等比數列{a_n}滿足：2a₁+a₃=3a₂，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若bn=anlog2

1

an

，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求 2ⁿ⁺¹-S_n＞60n+2成立的正整數n的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設等比數列a_n的首項為a₁，公比為q，根據2a₁+a₃=3a₂，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項，列出方程組解出首項為a₁，公比為q，進而求出數列{a_n}的通項公式，
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求出a_n代入bn=anlog2

1

an

，求出{b_n}的通項公式，然后求出S_n的表達式，最后不等式求出正整數n的最小值．

解答：解：（Ⅰ）設等比數列a_n的首項為a₁，公比為q，
依題意，有

2a1+a3=3a2 a2+a4=2(a3+2)

?

a1(2+q2)=3a1q (1) a1(q+q3)=2a1q2+4  (2)

由（1）及a₁≠0，得q²-3q+2=0?q=1，或q=2，
當q=1時，（2）式不成立；當q=2時，符合題意，
把q=2代入（2）得a₁=2，所以，a_n=2•2^n-1=2ⁿ，
（Ⅱ）bn=anlog2

1

an

=2n•log2

1

2n

=-n•2n，
∴-S_n=1×2+2×2²+3×2³++n×2ⁿ（3）
∴-2S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴++（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹（4）
（3）-（4）得S_n=-n•2ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺¹-2，
2ⁿ⁺¹-S_n＞60n+2，
即∴n•2ⁿ⁺¹＞60n，
∴2ⁿ⁺¹＞60，
又當n≤4時，∴2ⁿ⁺¹≤2⁵=32＜60，
當n≥5時，∴2ⁿ⁺¹≥2⁶=64＞60，
故使2ⁿ⁺¹-S_n＞60•n+2成立的正整數n的最小值為5．

點評：本題主要考查數列求和和等比數列的通項公式的知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握等比數列的性質和求和公式，注意本題對公比q的驗證，這是本題容易出錯的地方．