Question

【題目】已知橢圓的中心在原點，焦點在軸，離心率為，且長軸長是短軸長的倍.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設過橢圓左焦點的直線交于， 兩點，若對滿足條件的任意直線，不等式 恒成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）采用待定系數法，根據條件所給的幾何關系列式，再結合 ，解出 ；（2）首先分兩種情況，當直線與軸垂直的時候，可得出兩點的坐標，從而計算可得的值，當直線與軸不垂直的時候，設直線與橢圓方程聯立，得到根與系數的關系，帶入的坐標關系,得到函數的最大值，比較兩種情況下的最大值， ，從而得出的最小值.

試題解析：（1）依題意， ，

解得， ， 橢圓的標準方程為.

（2）設，

，

當直線垂直于軸時， ， 且，

此時， ， .

當直線不垂直于軸時，設直線： ，

由，得，

， ，

要使不等式 恒成立，

只需，即的最小值為.