Question

已知正項數列{a_n}，其前n項和S_n滿足10S_n=a_n²+5a_n+6且a₁，a₃，a₁₅成等比數列．
（1）求數列{a_n}的通項a_n
（2）b_n=20-a_n，T_n前n項和，求T_n的最值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據10S_n=a_n²+5a_n+6求出a₁的值，再結合10S_n-1=a_n-1²+5a_n-1+6可得到（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-5）=0，進而得到a_n-a_n-1=5可求出a_n=5n-3．
（2）根據（1）中{a_n}的通項a_n可得到b_n=20-a_n=23-5n，再由等差數列的前n項和公式可得到T_n的表達式，進而求出T_n的最大值．
解答：解：（1）∵10S_n=a_n²+5a_n+6，①∴10a₁=a₁²+5a₁+6，解之得a₁=2或a₁=3．
又10S_n-1=a_n-1²+5a_n-1+6（n≥2），②
由①-②得 10a_n=（a_n²-a_n-1²）+5（a_n-a_n-1），即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-5）=0
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=5 （n≥2）．
當a₁=3時，a₃=13，a₁₅=73．a₁，a₃，a₁₅不成等比數列∴a₁≠3；
當a₁=2時，a₃=12，a₁₅=72，有 a₃²=a₁a₁₅，∴a₁=2，∴a_n=5n-3．
（2）∵b_n=20-a_n=23-5n
所以T_n==
當n=4時，T_n取得最大值42．
點評：本題主要考查求數列通項公式、等差數列的前n項和公式．考查綜合運用能力．