Question

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù)f （x）=-x³+1在（-∞，+∞）上是減函數(shù)．

Answer 1

證明：證法一：在（-∞，+∞）上任取x₁，x₂且x₁＜x₂
則f（x₂）-f（x₁）=x₁³-x₂³=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²）
∵x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0．
當(dāng)x₁x₂＜0時(shí)，有x₁²+x₁x₂+x₂²=（x₁+x₂）²-x₁x₂＞0；
當(dāng)x₁x₂≥0時(shí)，有x₁²+x₁x₂+x₂²＞0；
∴f（x₂）-f（x₁）=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²）＜0．
即f（x₂）＜f（x₁）
所以，函數(shù)f（x）=-x₃+1在（-∞，+∞）上是減函數(shù)．

證法二：在（-∞，+∞）上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=x₁³-x₂³=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²）．
∵x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0．
∵x₁，x₂不同時(shí)為零，
∴x₁²+x₂²＞0．
又∵x₁²+x₂²＞

1

2

（x₁²+x₂²）≥|x₁x₂|≥-x₁x₂
∴x₁²+x₁x₂+x₂²＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²）＜0．
即f（x₂）＜f（x₁）．
所以，函數(shù)f（x）=-x³+1在（-∞，+∞）上是減函數(shù)．