Question

設(shè)l滿(mǎn)足約束條件

3x-y-2≤0 x-y≥0 x≥0，y≥0

，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為1，則

1

a

+

1

b

的最小值為

4

．

Answer 1

分析：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)取得最大值，確定a，b的關(guān)系，利用基本不等式求

1

a

+

1

b

的最小值．

解答：解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分OAC），
由z=ax+by（a＞0，b＞0），則y=-

a

b

x+

z

b

，
平移直線(xiàn)y=-

a

b

x+

z

b

，由圖象可知當(dāng)直線(xiàn)y=-

a

b

x+

z

b

經(jīng)過(guò)點(diǎn)是，直線(xiàn)的截距最大，此時(shí)z最大為1．
由

3x-y-2=0 x-y=0

，解得

x=1 y=1

．即C（1，1），
代入目標(biāo)函數(shù)z=ax+by得a+b=1．
∴

1

a

+

1

b

=（

1

a

+

1

b

）（a+b）=1+

a

b

+

b

a

+1=2+

a

b

+

b

a

≥2+2

a b • b a

=2+2=4，
當(dāng)且僅當(dāng)

a

b

=

b

a

即a=b=

1

2

時(shí)取等號(hào)，
∴

1

a

+

1

b

的最小值為4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決此類(lèi)問(wèn)題的基本方法，利用基本不等式的性質(zhì)可求

1

a

+

1

b

的最小值．