Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為e=

3

2

，且過點（

3

，

1

2

）
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設直線l：y=kx+m（k≠0，m＞0）與橢圓交于P，Q兩點，且以PQ為對角線的菱形的一頂點為（-1，0），求：△OPQ面積的最大值及此時直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據e=

3

2

，可得b²=

a2

4

，故所求橢圓為

x2

a2

+

4y2

a2

= 1，把點（

3

 ，  

1

2

）代入橢圓的方程可得a²=4，從而得到橢圓的方程．
（Ⅱ）將直線y=kx+m與

x2

4

+y2 = 1聯立，得到 4k²+1-m²＞0  ①，由中點公式及

y0-0

x0-(-1)

=-

1

k

，得到整理得3km=4k²+1  ②，由①②可得k²＞

1

5

，又  S_△OPQ為

2 20+ 1 k2 - 1 k4

9

，故當

1

k2

=

1

2

 時，△OPQ 的面積取最大值1，此時k=

2

，m=

3 2

2

，從而得到l的方程．

解答：解：（Ⅰ）∵e=

3

2

，∴c=

3

2

a，∴b²=a²-c²=

a2

4

，故所求橢圓為：

x2

a2

+

4y2

a2

= 1．
又橢圓過點 （

3

 ，  

1

2

），∴

3

a2

+

1

a2

= 1，∴a²=4，b²=1，
∴

x2

4

+ y2 = 1．
（Ⅱ）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中點為（x₀，y₀）
將直線y=kx+m與

x2

4

+y2 = 1   聯立得  （1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
∵△=16（4k²+1-m² ）＞0，即 4k²+1-m²＞0  ①，
又x₀=

x1+x2

2

=

-4km

1+4k2

，y₀=

y1+y2

2

=

m

1+4k2

，又點[-1，0]不在橢圓OE上．
依題意有

y0-0

x0-(-1)

=-

1

k

，整理得3km=4k²+1  ②． 由①②可得k²＞

1

5

，
∵m＞0，∴k＞0，∴k＞

5

5

，
設O到直線l的距離為d，
則S_△OPQ=

1

2

• d• |PQ|=

1

2

•

m

1+k2

•

1+k2 • 16(4k2+ 1 - m2)

1+4k2

  
=

2 (4k2+ 1) (5k2-1)

9k2

=

2 20+ 1 k2 - 1 k4

9

．
當

1

k2

=

1

2

 時，△OPQ 的面積取最大值1，此時k=

2

，m=

3 2

2

，
∴直線方程為 y=

2

x+

3 2

2

．

點評：本題考查求橢圓的標準方程的方法，直線和圓錐曲線的位置關系，求出k值，是解題的難點和關鍵．