Question

已知函數f(x)＝(x－a)²e^x，a∈R．

(1)求f(x)的單調區間；

(2)對任意的x∈(－∞，1]，不等式f(x)≤4e恒成立，求a的取值范圍；

(3)求證：當a＝2，2＜t＜6時，關于x的方程在區間[－2，t]上總有兩個不同的解．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)(x)＝2(x－a)ex＋(x－a)2ex＝(x－a)[x－(a－2)]ex．　2分 　　令(x)＝0，得x1＝a－2，x2＝a． 　　當x變化時，f¢ (x)、f(x)的變化如下： 　　所以f(x)的單調遞增區間是(－∞，a－2)，(a，＋∞)， 　　單調遞減區間是(a－2，a)．　6分 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)得[f(x)]極大＝f(a－2)＝4ea－2． 　　(1)當a≤1時，f(x)在(－∞，1]上的最大值為f(a－2)或f(1)， 　　由解得－1≤a≤1； 　　(2)當a－2≤1＜a，即1＜a≤3時，f(x)在(－∞，1]上的最大值為f(a－2)， 　　此時f(a－2)＝4ea－2≤4e3－2＝4e； 　　(3)當a－2＞1，即a＞3時，f(1)＝(a－1)2e＞4e，f(x)≤4e不恒成立． 　　綜上，a的取值范圍是[－1，3]．　12分 　　(Ⅲ)， 　　令 　　從而問題轉化為證明當函數在[－2，t]與x軸有兩個不同的交點，而，，所以g(x)＝0在[－2，t]上有解，且有兩解．(15分)