Question

某城市決定對城區住房進行改造，在建新住房的同時拆除部分舊住房．第一年建新住房am²，第二年到第四年，每年建設的新住房比前一年增長100%，從第五年起，每年建設的新住房都比前一年減少 am²；已知舊住房總面積為32am²，每年拆除的數量相同．
（Ⅰ）若10年后該城市住房總面積正好比改造前的住房總面積翻一番，則每年拆除的舊住房面積是多少m²？
（Ⅱ），求前n（1≤n≤10且n∈N）年新建住房總面積S_n

Answer 1

分析：（I）分別計算出10年后新建住房總面積，再設每年拆除的舊住房為xm²，列方程即可求得每年拆除的舊住房面積數；
（Ⅱ）先設第n年新建住房面積為a，分類討論：當1≤n≤4時，當5≤n≤10時，分別求出新建住房總面積即可．

解答：解：（I）10年后新建住房總面積為a+2a+4a+8a+7a+6a+5a+4a+3a+2a=42a．（3分）
設每年拆除的舊住房為xm²，則42a+（32a-10x）=2×32a，（5分）
解得x=a，即每年拆除的舊住房面積是am²（6分）
（Ⅱ）設第n年新建住房面積為a，則a_n=

2n-1a         (1≤n≤4) (12-n)a   (5≤n≤10)

所以當1≤n≤4時，S_n=（2ⁿ-1）a；（9分）
當5≤n≤10時，S_n=a+2a+4a+8a+7a+6a+（12-n）a=15a+

(n-4)(19-n)a

2

=

(23n-n2-76)a

2

故Sn=

(2n-1)a                   (1≤n≤4) (23n-n2-76) 2 a       (5≤n≤10)

（12分）

點評：本小題主要考查函數模型的選擇與應用，屬于基礎題．解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數學符號，建立數學模型；（3）利用數學的方法，得到數學結果；（4）轉譯成具體問題作出解答，其中關鍵是建立數學模型．