Question

已知函數m（k，m為常數）．
（1）當k和m為何值時，f（x）為經過點（1，0）的偶函數？
（2）若不論k取什么實數，函數f（x）恒有兩個不同的零點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據函數奇偶性的定義可判斷出f（-x）=f（x）把函數解析式代入求得6kx=0總成立，求得k，進而根據函數過（1，0）點代入后即可求得m．
（2）根據函數f（x）恒有兩個不同的零點知可判斷出方程恒有兩個不等實根進而根據△＞0恒成立，進而求得m的范圍．
解答：解：（1）因為函數f（x）為偶函數，
∴f（-x）=f（x）
∴
由此得6kx=0總成立，故k=0．
∴，又該函數過點（1，0），
∴，得m=
所以，當m=，k=0時，f（x）為經過點（1，0）的偶函數．
（2）由函數f（x）恒有兩個不同的零點知，
方程恒有兩個不等實根
，故△=＞0恒成立，
即恒成立，
而-9k²+12k=，
故只須，即，解得0＜m＜．
所以，當0＜m＜時，函數f（x）恒有兩個不同的零點．
點評：本題主要考查了函數的零點與方程根的關系．如果函數無零點，則方程無實數根；如果有一個零點，則方程有且只有一個實根；函數有兩個零點，則方程有兩個實數根．