Question

對于定義在區間D上的函數，若存在閉區間和常數，使得對任意，都有，且對任意∈D，當時，恒成立，則稱函數為區間D上的“平底型”函數．

   （1）判斷函數和是否為R上的“平底型”函數？并說明理由；

   （2）設是（1）中的“平底型”函數，k為非零常數，若不等式 對一切R恒成立，求實數的取值范圍；

   （3）若函數是區間上的“平底型”函數，求和的值．

Answer 1

解：（1）對于函數，當時，．

當或時，恒成立，故是“平底型”函數． 

對于函數，當時，；當時，．

所以不存在閉區間，使當時，恒成立．故不是“平底型”函數．      

（Ⅱ）若對一切R恒成立，

則．所以．又，則．     

則，解得．故實數的范圍是．       

（Ⅲ）因為函數是區間上的“平底型”函數，

則存在區間和常數，

使得恒成立．

所以恒成立，

即．解得或．        當時，．

當時，，當時，恒成立．

此時，是區間上的“平底型”函數．    

當時，．

當時，，當時，．

此時，不是區間上的“平底型”函數．  綜上分析，m＝1，n＝1為所求．