Question

設f（x）是定義在R上的奇函數，且對任意a，b，當a+b≠0，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0
（1）．若a＞b，試比較f（a）與f（b）的大小；
（2）．若f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0對x∈[-1，1]恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由a＞b，得

f(a)+f(-b)

a-b

＞0，所以f（a）+f（-b）＞0，由f（x）是定義在R上的奇函數，能得到f（a）＞f（b）．
（2）由f（x）在R上是單調遞增函數，f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0，得f（k•3^x）＜-f（3^x-9^x-2）=f（9^x-3^x+2），故k•3^x＜9^x-3^x+2，由此能夠求出k的范圍．

解答：解：（1）∵對任意a，b，當a+b≠0，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0
∴

f(a)+f(-b)

a-b

＞0，
∵a＞b，
∴a-b＞0，
∴f（a）+f（-b）＞0，
∵f（x）是定義在R上的奇函數，
∴f（-b）=-f（b），
∴f（a）-f（b）＞0，
∴f（a）＞f（b）
（2）由（1）知f（x）在R上是單調遞增函數，
又f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0，
得f（k•3^x）＜-f（3^x-9^x-2）=f（9^x-3^x+2），
故k•3^x＜9^x-3^x+2，
∴k＜3x+

2

3x

-1，
令t=3^x，
∵x∈[-1，1]恒成立，
∴t=3x∈[

1

3

，3]，
∴k＜t+

2

t

-1，
而t+

2

t

≥2

2

，
當且僅當t=

2

t

，t=

2

時，取等號，
即k＜2

2

-1．

點評：本題考查解函數恒成立問題的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．綜合性強，是高考的重點，易出錯．解題時要認真審題，注意轉化思想的靈活運用．