Question

設(shè)正數(shù)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且對(duì)任意的n∈N^*，S_n是和a_n的等差中項(xiàng)．

(1)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

(2)在集合M＝{m|m＝2k，k∈Z，且1000≤k＜1500中，是否存在正整數(shù)m，使得不等式對(duì)一切滿足n＞m的正整數(shù)n都成立？若存在，則這樣的正整數(shù)m共有多少個(gè)？并求出滿足條件的最小正整數(shù)m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)請(qǐng)構(gòu)造一個(gè)與數(shù)列{S_n}有關(guān)的數(shù)列{u_n}，使得存在，并求出這個(gè)極限值．

Answer 1

答案：
解析：

于是，　　(2分) 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1537/0025/3af27ecc0a29995c3368b1cb8a9937eb/C/Image24.gif" width=218 height=18> 　　所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列　　(3分) 　　所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝n(n∈N*)　　(4分) 　　(2)設(shè)存在滿足條件的正整數(shù)m，則 　　n＞2010　　(6分) 　　又M＝{2000，2002，…，2008，2010，2012，…，2998}， 　　所以m＝2010，2012，…，2998均滿足條件， 　　它們組成首項(xiàng)為2010，公差為2的等差數(shù)列　　(8分) 　　設(shè)共有k個(gè)滿足條件的正整數(shù)，則2010＋2(k－1)＝2998，解得k＝495　　(10分) 　　所以，M中滿足條件的正整數(shù)m存在，共有495個(gè)，m的最小值為2010　　(12分) 　　(3)設(shè)　　(15分)， 　　則 　　，其極限存在，且 　　　　(18分) 　　注：為非零常數(shù))， 　　)等都能使存在． 　　按學(xué)生給出的答案酌情給分，寫(xiě)出數(shù)列{un}正確通項(xiàng)公式的得3分，求出極限再得3分．