Question

某學(xué)科的試卷中共有12道單項選擇題，（每個選擇題有4個選項，其中僅有一個選項是正確的，答對得5分，不答或答錯得0分）．某考生每道題都給出了答案，已確定有8道題答案是正確的，而其余的題中，有兩道題每題都可判斷其兩個選項是錯誤的，有一道題可以判斷一個選項是錯誤的，還有一道題因不理解題意只能亂猜．對于這12道選擇題，試求：
（1）該考生得分為60分的概率；
（2）該考生所得分數(shù)ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

解：（1）由題意知本題是一個相互獨立事件同時發(fā)生的概率，
考生要得60分，其余四道題必須全做對，
∴得60分的概率為．
（2）由題意知該考生得分ξ的取值是40，45，50，55，60，
得分為40表示只做對了8道題，其余4題都做錯，
故求概率為；
同樣可求得得分為45分的概率為
；
得分是50分的概率為P（ξ=50）=；
得分是55分的概率為P（ξ=55）=；
得分是60分的概率為P（ξ=60）=．
∴ξ的分布列為


∴．
該考生所得分數(shù)的數(shù)學(xué)期望為
分析：（1）本題是一個相互獨立事件同時發(fā)生的概率，考生要得60分，其余四道題必須全做對，根據(jù)條件中所說的關(guān)于四道題目的判斷情況，得到每個題作對的概率，根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率，得到結(jié)果．
（2）由題意知該考生得分ξ的取值是40，45，50，55，60，得分為40表示只做對了8道題，其余4題都做錯，得45分表示三道題目中有一道題目做對，以此類推，得到概率，分布列和期望．
點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查相互獨立事件同時發(fā)生的概率，等可能事件的概率，考查用概率知識解決實際問題，是一個新課標高考卷中要出的解答題目．