Question

過點(diǎn)M（4，2）作X軸的平行線被拋物線C：x²=2py（p＞0）截得的弦長(zhǎng)為（I ）求拋物線C的方程；（II）過拋物線C上兩點(diǎn)A，B分別作拋物線C的切線l₁，l₂（i）若l₁，l₂交點(diǎn)M，求直線AB的方（ii）若直線AB經(jīng)過點(diǎn)M，記l₁，l₂的交點(diǎn)為N，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（I ）直接把條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)（2，）在拋物線x²=2py上，代入拋物線方程即可求出p，進(jìn)而得到拋物線C的方程；
（II）先把直線AB的方程y=kx+b與拋物線方程聯(lián)立求出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)與k，b的關(guān)系，再求出拋物線方程的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而求出在A，B兩點(diǎn)處的切線方程以及交點(diǎn)坐標(biāo)．
    （i）直接把所求交點(diǎn)坐標(biāo)與點(diǎn)M（4，2）相結(jié)合即可求出k，b的值，進(jìn)而求出直線AB的方程；
     （ii）先利用直線AB經(jīng)過點(diǎn)M求得4k+b=2，代入可得l₁，l₂的交點(diǎn)N的坐標(biāo)；利用弦長(zhǎng)公式求出AB的長(zhǎng)，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)N到直線AB的距離，把求出結(jié)論代入，即可求出k，進(jìn)而得到點(diǎn)N的坐標(biāo)．
解答：解：（I ）由已知得點(diǎn)（2，）在拋物線x²=2py上，
代入得8=4p，故p=2，
所以x²=4y．
（II）設(shè)A（x₁，），B（x₂，），直線AB方程為y=kx+b，
由得，
則x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4b．
又y=，求導(dǎo)得y^′=．
故拋物線在A，B兩點(diǎn)處的切線斜率分別為，．
故在A，B兩點(diǎn)處的切線方程為l₁：y=x-和l_2：：y=x-，
于是l₁與l₂的交點(diǎn)坐標(biāo)為（，），即為（2k，-b）．
（i）∵l₁，l₂交點(diǎn)M
∴⇒，故直線AB的方程為2x-y-2=0．
（ii）由題意得M（4，2）在直線AB上，故4k+b=2．
且x₁+x₂=4k，x₁•x₂=16k-8．
故l₁與l₂交點(diǎn)N坐標(biāo)為（2k，4k-2）．
又|AB|=|x₁-x₂=4|，
點(diǎn)N到直線AB的距離d=．
故S_△NAB=|AB|•d=4
故4=28，
即=，得k=-1或5，
故點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-2，-6）或（10，18）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與拋物線的綜合問題．本題第二問涉及到弦長(zhǎng)公式的運(yùn)用以及點(diǎn)到直線的距離計(jì)算，是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查，提醒我們注意知識(shí)的熟練掌握和運(yùn)用．