Question

如圖，兩縣城A和B相距20km，O為AB的中點，現要在以O為圓心、20km為半徑的圓弧

MN

上選擇一點P建造垃圾處理廠，其中MA⊥AB，NB⊥AB．已知垃圾處理廠對城市的影響度與所選地點到城市的距離有關，對城A和城B的總影響度為對城A和城B的影響度之和．統計調查表明：垃圾處理廠對城A的影響度與所選地點到城A的距離的平方成反比，比例系數為4；對城B的影響度與所選地點到城B的距離的平方成反比，比例系數為9．記垃圾處理廠對城A和城B的總影響度為y，設AP=xkm，∠POA=θ．
（I）寫出x關于θ的函數關系，并求該函數的定義域和值域；
（II）當x為多少km時，總影響度最小？

Answer 1

分析：（I）根據在三角形中應用余弦定理做出變量的表示式，得到一個關于三角函數的解析式，根據三角函數的性質做出函數的定義域和值域．
（II）根據余弦定理表示出要求的量，根據上一問的結果，得到變量的表示式，對函數求導，使得導函數大于0，小于0，求出函數的單調區間，得到最值，說明最值的實際意義．

解答：解：（I）在△POA中，有余弦定理得：
x²=400+100-2×20×10cosθ=500-400cosθ
∴x=10

5-4cosθ

定義域為[

π

3

2π

3

]，值域為[10

3

，10

7

]
（II）在△POA中，有余弦定理得：
PB²=400+100-2×20×10cos（π-θ）=500+400cosθ
∵由（I）知400cosθ=500-x²，
∴PB²=1000-x²
∴y=

9

x2

+

4

1000-x2

∴y′=

10(x2-600)(3000-x2)

x3(1000-x2 )2

∵10

3

≤x≤10

7

，
令y′=0
得x=10

6

當10

3

≤x≤10

6

時，y′＜0
當10

6

≤x≤10

7

，y′＞0
∴當x=10

6

時，y取極小值也是最大值．
即當AP為10

6

時，總影響度最小．

點評：本題考查已知三角函數模型的應用問題，解答本題的關鍵是建立起符合條件的模型，作出正確的示意圖，然后再由三角形中的相關知識進行運算，注意不同中導數的應用．