Question

如圖，四邊形ABCD是矩形，AD=2，DC=1，AB⊥平面BCE，BE⊥EC，EC=1．點F為線段BE的中點．
（ I ）求證：CE⊥平面ABE；
（Ⅱ）求證：DE∥平面A CF；
（Ⅲ）求AC和平面ABE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知AB⊥平面BCE，證出AB⊥CE，又BE⊥EC，直接利用線面垂直的判定定理得到結論；
（Ⅱ）由F為線段BE的中點，設想連結BD交AC于點M得到BD的中點M，由三角形的中位線定理得到線線平行，從而證明線面平行；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，CE⊥平面ABE，∠CAE即為AC和平面ABE所成的角，在直角三角形ACE中，直接解直角三角形可得結論．

解答：（Ⅰ）證明：如圖，
由AB⊥平面BCE，可得AB⊥CE，
又由BE⊥EC，而AB∩BE=B，AB?平面ABE，BE?平面ABE，
故CE⊥平面ABE；
（Ⅱ）證明：連結BD交AC于M，連結FM，由點F為線段BE的中點，
可得FM∥DE，而FM?平面ACF，DE?平面ACF，故DE∥平面ACF；
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知，CE⊥平面ABE，∠CAE即為AC和平面ABE所成的角．
由已知，AC=

5

，CE=1，
在直角三角形ACE中，可得sin∠CAE=

CE

AC

=

5

5

．
即AC和平面ABE所成角的正弦值為

5

5

．

點評：本題考查了直線與平面垂直的判定，考查了直線與平面平行的判定，考查了線面角，解答的關鍵是創造使判定定理成立的條件，線面平行的判定常借助于三角形的中位線解決，是中檔題．