Question

已知二次函數g（x）對任意實數x不等式x-1≤g（x）≤x²-x恒成立，且g（-1）=0，令．
（I）求g（x）的表達式；
（II）若?x＞0使f（x）≤0成立，求實數m的取值范圍；
（III）設1＜m≤e，H（x）=f（x）-（m+1）x，證明：對?x₁，x₂∈[1，m]，恒有|H（x₁）-H（x₂）|＜1．

Answer 1

解（I）設g（x）=ax²+bx+c（a≠0），
由題意令x=1得0≤g（1）≤0∴g（1）=0，
∴得b=0，a+c=0，
∵x-1≤g（x）≤x²-x對?x∈R恒成立，
∴ax²-a≥x-1和ax²-a≤x²-x恒成立，
得，
∴．

（II）=，

當m＞0時，f（x）的值域為R
當m=0時，恒成立
當m＜0時，令

x
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小	↗

這時
若?x＞0使f（x）≤0成立則只須f（x）_min≤0即m≤-e，
綜上所述，實數m的取值范圍（-∞，-e）∪（0，+∞）．

（III）∵，所以H（x）在[1，m]單減
于是，
，
記，則
所以函數h（m）在[1，e]是單增函數
所以
故命題成立．
分析：（I）直接設出g（x）的表達式，利用不等式x-1≤g（x）≤x²-x恒成立，可得g（1）=0與g（-1）=0相結合可得b=0，a+c=0；再代入利用不等式x-1≤g（x）≤x²-x恒成立求出a即可．
（II）先求出函數f（x）的表達式，在對實數m分情況求出對應函數f（x）的值域，讓實數m與函數f（x）的最小值比較即可求實數m的取值范圍；
（III）先求出函數H（x）在[1，m]單減，進而得，轉化為求的最大值問題即可．
點評：本題主要考查函數恒成立問題以及函數解析式的求法，是對函數以及導函數知識的綜合考查，是有難度的題．