Question

設向量

a

，

b

滿足|

a

|=|

b

|=1及|3

a

-2

b

|=

7

（1）求

a

，

b

夾角的大小；　　　
（2）求|3

a

+2

b

|的值．

Answer 1

分析：（1）根據向量數量積的運算性質和向量模的公式，結合題意算出

a

•

b

=

1

2

，再根據向量的夾角公式即可算出

a

、

b

夾角的大小；
（2）由（1）的結論，算出|3

a

+2

b

|²=13，兩邊開方即可得到|3

a

+2

b

|的值．

解答：解：（1）∵|

a

|=|

b

|=1，|3

a

-2

b

|=

7

，
∴|3

a

-2

b

|²=（3

a

-2

b

）²=9

a

2-12

a

•

b

+4

b

2=7，
即9|

a

|2-12

a

•

b

+4|

b

|2=7，可得13-12

a

•

b

=7，解之得

a

•

b

=

1

2

．
設

a

、

b

夾角等于α，則cosα=

a • b

|a| • |b|

=

1

2

，
∵α∈（0，π），
∴α=

π

3

，即

a

、

b

夾角的大小為

π

3

；
（2）∵|

a

|=|

b

|=1，

a

•

b

=6．
|3

a

+2

b

|²=9

a

2+6

a

•

b

+

b

2=9+6×

1

2

+1=13，
∴|3

a

+2

b

|=

13

．

點評：本題給出單位向量

a

、

b

滿足的條件，在已知|3

a

-2

b

|=

7

的情況下求

a

、

b

的夾角，并求|3

a

+2

b

|的大小．著重考查了向量數量積的運算性質、向量模的公式和向量的夾角公式等知識，屬于中檔題．