Question

已知函數f（x）=ae^x和g（x）=lnx-lna的圖象與坐標軸的交點分別是點A，B，且以點A，B為切點的切線互相平行．
（Ⅰ）求實數a的值；
（Ⅱ）若函數F(x)=g(x)+

1

x

，求函數F（x）的極值；
（Ⅲ）若存在x使不等式

x-m

f(x)

＞

x

成立，求實m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用導數的運算法則得出f′（x），g′（x），再利用導數的幾何意義，得到f′（0）=g′（a），解出即可；
（II）解出F′（x）=0，再判定是否符合極值的定義即可；
（III）存在x使不等式

x-m

f(x)

＞

x

成立?故m＜x-

x

ex在x∈[0，+∞）上有解?令h(x)=x-

x

ex，m＜h（x）_max，利用導數求出即可．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=aex，g′(x)=

1

x

，（x＞0）．
函數y=f（x）的圖象與坐標軸的交點為（0，a），
函數y=g（x）的圖象與坐標軸的交點為（a，0），
由題意得f′(0)=g′(a)，即a=

1

a

，又∵a＞0，∴a=1；
（Ⅱ）∵F(x)=g(x)+

1

x

，（x＞0），
∴F′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，

解F′（x）＞0得x＞1；解F′（x）＜0，得0＜x＜1．
∴函數F（x）的遞減區間是（0，1），遞增區間是（1，+∞），
所以函數F（x）極小值是F（1）=1，函數F（x）無極大值；
（Ⅲ）由

x-m

f(x)

＞

x

得

x-m

ex

＞

x

，
故m＜x-

x

ex在x∈[0，+∞）上有解，
令h(x)=x-

x

ex，m＜h（x）_max
當x=0時，m＜0
當x＞0時，h′(x)=1-(

1

2 x

ex+

x

ex)=1-(

1

2 x

+

x

)ex，
∵x＞0，∴

1

2 x

+

x

≥2

1 2 x • x

=

2

，ex＞1，
∴(

1

2 x

+

x

)ex＞

2

故h′(x)=1-(

1

2 x

+

x

)ex＜0，
即h(x)=x-

x

ex在區間[0，+∞）上單調遞減，故m＜h（x）_max，∴m＜0，
即實數m的取值范圍（-∞，0）．

點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性、極值與最值、等價轉化方法等是解題的關鍵．