Question

給定下列命題：
①函數y=sin(

π

4

-2x)的單增區間是[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

](k∈Z)；
②已知|

a

|=|

b

|=2，

a

與

b

的夾角為

π

3

，則

a

+

b

在

a

上的投影為3；
③函數y=f（x+1）與y=f^-1（x）-1的圖象關于直線x-y=0對稱；
④已知f（x）=asinx-bcosx，（a，b∈R）在x=

π

4

處取得最小值，則f(

3π

2

-x)=-f(x)；
則真命題的序號是

②③④

．

Answer 1

分析：①根據誘導公式進行化簡，再由正弦函數的單調性可求其單調增區間，進而判斷①為假命題；
②利用向量投影的概念，計算可得結論；
③判斷函數y=f（x+1）與y=f^-1（x）-1互為反函數即可；
④已知f（x）=asinx-bcosx，（a，b∈R）在x=

π

4

處取得最小值，則函數關于直線x=

π

4

對稱，不妨設函數解析式為f（x）=

a2+b2

sin(x-

3

4

π)，即可得到結論．

解答：解：①y=sin(

π

4

-2x)=-sin(2x-

π

4

)，由

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

3

2

π+2kπ，可得x∈[kπ+

3π

8

，kπ+

7π

8

](k∈Z)為函數的單調遞增區間，故①為假命題；
②

a

+

b

在

a

上的投影為

( a + b )• a

| a |

=

4+4cos π 3

2

=3，故②正確；
③由函數y=f（x+1）可得x=f^-1（y）-1，再將x，y互換可得y=f^-1（x）-1，故函數y=f（x+1）與y=f^-1（x）-1的圖象關于直線x-y=0對稱，即③正確；
④已知f（x）=asinx-bcosx，（a，b∈R）在x=

π

4

處取得最小值，則函數關于直線x=

π

4

對稱，不妨設函數解析式為f（x）=

a2+b2

sin(x-

3

4

π)，
∴f(

3π

2

-x)=-f(x)，即④正確．
故真命題的序號為：②③④

點評：本題考查命題真假的判斷，考查函數的單調性，考查向量知識，考查三角函數的性質，綜合性強．