Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2

2

，∠PAB=60°．
（1）證明：面PAB⊥面ABCD； 
（2）求異面直線PD與AB所成的角的大小．
（3）求二面角P-BD-C的大小．

Answer 1

分析：（1）要證面PAB⊥面ABCD，只證AD⊥平面PAB，可證AD⊥AB（已知），AD⊥PA（由勾股定理可證）；
（2）過(guò)P作PH⊥AB于H，作HM⊥CD于M點(diǎn)，連接PM，則∠PDM即為所求，DM=HA=PAcos60°=1，在Rt△PDM中，通過(guò)解直角三角形可求；
（3）作HE⊥BD于E，連接PE，可證∠PE H為二面角P-BD-A的平面角，通過(guò)解直角三角形解出∠PE H，取其補(bǔ)角即為所求；

解答：（1）證明：∵PA²+AD²=4+4=8=PD²，
∴AD⊥PA，
又ABCD為矩形，AD⊥AB，AB∩PA=A，
∴AD⊥平面PAB，
AD?平面ABCD，
所以平面PAB⊥平面ABCD；
（2）解：因?yàn)锳B∥CD，所以PD與AB成角即為PD與DC成角．
過(guò)P作PH⊥AB于點(diǎn)H．過(guò)點(diǎn)H作HM⊥CD于M，連接PM．
則PH⊥平面ABCD，所以CD⊥PM，
在Rt△PAH中，AH=PA•cos∠PAH=2×cos60°=1，所以DM=AH=1，
在Rt△PDM中，cos∠PDM=

DM

PD

=

1

2 2

=

2

4

，
所以∠PDC=arccos

2

4

，即所求角為arccos

2

4

；
（3）作HE⊥BD于E，連接PE，
∵面PAB⊥面ABCD，∴PH⊥面ABCD，∴PE⊥BD．∴∠PE H為二面角P-BD-A的平面角，
∵PH=PA•sin60°=

3

，AH=PA•cos60°=1，
∴BH=AB-AH=2，BD=

13

，HE=

AD

BD

•BH=

4

13

，
∴在Rt△PHE中，tan∠PEH=

PH

HE

=

39

4

，
∴二面角P-BD-A大小為arctan

39

4

，二面角P-BD-C的大小為πarctan

39

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查面面垂直的判定、二面角異面角的求解，考查學(xué)生的推理論證能力，屬中檔題．