Question

函數f（x）=ax³-3x²+x+1在R上是單調函數，則實數a的取值范圍是（　　）

A．a＞3

B．a≥3

C．a＜3

D．a≤3

Answer 1

分析：求出原函數的導函數，因為f（x）=ax³-3x²+x+1在R上是單調函數，所以f^′（x）=3ax²-6x+1在實數集上恒大于等于0或恒小于等于0，然后對a進行分類討論，借助于二次函數圖象情況求解a的范圍．

解答：解：由f（x）=ax³-3x²+x+1，得f^′（x）=3ax²-6x+1．
因為f（x）=ax³-3x²+x+1在R上是單調函數，
所以f^′（x）=3ax²-6x+1在實數集上恒大于等于0或恒小于等于0，
a=0時顯然不成立，
所以有

a＞0 (-6)2-4×3a≤0

①或

a＜0 (-6)2-4×3a≤0

②
解①得，a≥3
解②得，a∈∅．
所以實數a的取值范圍是a≥3．
故選B．

點評：本題考查了函數的單調性與導數之間的關系，考查了分類討論的數學思想方法，訓練了“三個二次”結合處理問題，是中檔題．