Question

設拋物線的方程為y²=8x，O為坐標原點，點A，B是拋物線上的點．如果OA⊥OB，求證：直線AB必過定點，并求出定點坐標．

Answer 1

【答案】分析：如果OA⊥OB，則OA，OB斜率都存在且互為負倒數，可設出其中一個斜率為k，則另一個斜率為-，這樣，設出兩直線方程，分別于拋物線方程聯立，解出A，B坐標，再求直線AB方程，看是否經過定點．
解答：解：當斜率k不存在時，由題設條件知A（x，x），B（x，-x），
∴x²=8x，∴A（8，8），B（8，-8），
AB方程為x=8，過定點N（8，0）．…（2分）
當斜率k存在時，設AB方程為：y=kx+b，
由，消去x得：ky²-8y+8b=0，…（7分）
∴k≠0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由OA⊥OB，得x₁x₂+y₁y₂=0，
即+y₁y₂=0，
得y₁y₂=-64，
∴，即b=-8k．…（10分）
∴AB方程為：y=kx-8k=k（x-8）．…（12分）
∴AB方程恒過定點N（8，0）．…（14分）
點評：本題考查了直線與拋物線的位置關系，證明直線AB必過定點時，要熟練掌握其中設而不求的解題思想．