Question

如圖，弧AEC是半徑為a的半圓，AC為直徑，點E為弧AC的中點，點B和點C為線段AD的三等分點，平面AEC外一點F滿足FC⊥平面BDE，FB=．
（1）證明：平面BEF⊥平面BDF；
（2）求二面角F-DE-B的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證平面BEF⊥平面BDF，只需要在平面BEF中找出平面BDF的一條垂線，即EB⊥平面BDF；
（2）過C作CG⊥DE，垂足為G，連接FG，根據FC⊥平面BDE，可得FG⊥DE，所以∠FGC為二面角F-DE-B的平面角，故可求二面角F-DE-B的正切值．
解答：（1）證明：∵AC為直徑，點E為弧AC的中點
∴EB⊥BC
∵FC⊥平面BDE，EB?平面BDE
∴FC⊥EB
∵BC∩FC=C
∴EB⊥平面BDF；
∵EB?平面BEF
∴平面BEF⊥平面BDF；
（2）解：過C作CG⊥DE，垂足為G，連接FG
∵FC⊥平面BDE，
∴FG⊥DE
∴∠FGC為二面角F-DE-B的平面角

∵
∴FC=2a
∵EB=a，BD=2a，CD=a，EB⊥BD，CG⊥DE
∴
∴
∴二面角F-DE-B的正切值為．
點評：本題以線面垂直為載體，考查面面垂直，考查面面角，解題時，正確運用面面垂足的判定定理，作出面面角是關鍵