Question

已知函數f(x)=loga

1+x

1-x

（a＞0，且a≠1）
（Ⅰ）求函數f（x）的定義域；
（Ⅱ）判斷函數f（x）的奇偶性、并證明；
（Ⅲ）求使不等式f（x）＞0成立的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函數f（x）的解析式可得

1+x

1-x

＞0，即 （1+x）（1-x）＞0，由此解得x的范圍，即可得到函數f（x）的定義域．
（Ⅱ）由于函數f（x）的定義域關于原點對稱，且f（-x）=-f（x），根據函數的奇偶性的定義得出結論．
（Ⅲ）由不等式f（x）＞0可得，當a＞1時，由

1+x

1-x

＞1，求得不等式的解集．當1＞a＞0時，0＜

1+x

1-x

＜1，即

1+x 1-x ＞0 1+x 1-x ＜1

，解此不等式組求得不等式的解集，
綜合可得結論．

解答：解：（Ⅰ）∵函數f(x)=loga

1+x

1-x

（a＞0，且a≠1），可得

1+x

1-x

＞0，即 （1+x）（1-x）＞0，解得-1＜x＜1，
故函數f（x）的定義域為（-1，1）．
（Ⅱ）由于函數f（x）的定義域為（-1，1），關于原點對稱，且f（-x）=log_a

1-x

1+x

=-log_a

1+x

1-x

=-f（x），
故函數f（x）為奇函數．
（Ⅲ）由不等式f（x）＞0可得，當a＞1時，

1+x

1-x

＞1，即 

2x

x-1

 ＜0，解得0＜x＜1．
當1＞a＞0時，0＜

1+x

1-x

＜1，即  

1+x 1-x ＞0 1+x 1-x ＜1

，即

-1＜x＜1 x＞1 ，或x＜0

，解得-1＜x＜0．
綜上可得，當a＞1時，不等式的解集為{x|0＜x＜1}； 當1＞a＞0時，不等式的解集為{x|-1＜x＜0}．

點評：本題主要考查對數函數的圖象和性質應用，分式不等式的解法，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．