Question

求證：x＞1時，

1

lnx

-

1

x-1

＜

1

2

．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：導數的綜合應用

分析：把要證的不等式轉化為證lnx＞

2(x-1)

x+1

，夠造函數g（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

，然后利用導數即可證得答案．

解答： 證明：當x＞1時，要證

1

lnx

-

1

x-1

＜

1

2

，即證

1

lnx

＜

1

2

+

1

x-1

=

x+1

2(x-1)

，
也就是證：lnx＞

2(x-1)

x+1

．
構造函數g（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

，
則g′(x)=

1

x

-

2(x+1)-2x+2

(x+1)2

=

x2+2x+1-4x

x(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

＞0．
∴函數g（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

為（1，+∞）上的增函數，
∴g（x）＞g（1）=0，即g（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

＞0．
∴lnx＞

2(x-1)

x+1

．
即x＞1時，

1

lnx

-

1

x-1

＜

1

2

．

點評：本題考查了函數恒成立問題，考查了數學轉化思想方法，考查了函數構造法，是中檔題．