Question

已知函數f（x）=ax（x-1）²+1，（x∈R）和函數g（x）=（2-a）x³+3ax²-ax，（x∈R）
（Ⅰ）令h（x）=f（x）+g（x），若函數h（x）在[1，+∞）上存在單調遞減區間，求實數a的取值范圍．
（Ⅱ）當a＜0時，若F（x）=f（x）+a有極大值-7，求實數a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）對函數h（x）求導，利用函數h（x）在[1，+∞）上存在單調遞減區間，則說明h'（x）＜0有解．
（Ⅱ）利用函數F（x）=f（x）+a有極大值-7，可求實數a的值．

解答：解：（Ⅰ）∵h（x）=f（x）+g（x）=2x³+ax²+1．
∴h'（x）=6x²+2ax，…（2分）
由題意要使函數h（x）在[1，+∞）上存在單調遞減區間，h'（x）＜0在[1，+∞）上有解．
∵h'（x）=6x²+2ax=0，解得x=0或x=-

a

3

．
由圖象可知當-

a

3

＞1（圖④正確），解得a＜-3．
（Ⅱ）F（x）=f（x）+a=ax（x-1）²+a+1，
所以F'（x）=a（3x²-4x+1），令F'（x）=0，得3x²-4x+1=0，解得x=1或x=

1

3

．
列表：

x	（-∞， 1 3 ）	1 3	（ 1 3 ，1）	1	（1，+∞）
F'（x）	-		+		-
F（x）	遞減	極小值	遞增	極大值a+1	遞減

∴F（x）在x=1處取得極大值-7，即a+1=-7，解得a=-8．

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和極值的問題，屬于常考題型要求熟練掌握．