Question

3．定義在R上的函數f（x），對任意的x∈R都有f（-x）=-f（x）且當x≥0時f（x）=x²-2x，則不等式xf（x）＜0的解集為（　　）

• A． （-∞，-2）∪（0，2）
• B． （-2，0）∪（0，2）
• C． （-2，0）∪（2，+∞）
• D． （-∞，-2）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 當x≥0時，不等式xf（x）＜0即x（x²-2x）＜0，解得即可．由于函數f（x）對任意的x∈R滿足f（-x）=-f（x），可得函數f（x）是奇函數．因此當x＜0時，f（x）=-f（-x）=-（x²+2x），于是不等式xf（x）＜0即-x（x²+2x）＜0，解出即可．

解答 解：當x≥0時，不等式xf（x）＜0即x（x²-2x）＜0，解得0＜x＜2．
∵函數f（x）對任意的x∈R滿足f（-x）=-f（x），∴函數f（x）是奇函數．
當x＜0時，f（x）=-f（-x）=-（x²+2x），∴不等式xf（x）＜0即-x（x²+2x）＜0，
解得-2＜x＜0．
綜上可得：不等式xf（x）＞0的解集是（-2，0）∪（0，2）．
故選：B．

點評 本題考查了函數的奇偶性、不等式的解法，屬于基礎題．