Question

（2011•延慶縣一模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，且∠DAB=60°，側面PAD⊥底面ABCD，且三角形PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M是AP的中點．
（Ⅰ）求證AD⊥PB；
（Ⅱ）求異面直線DM與PB所成角的余弦值；
（Ⅲ）求二面角A-PD-B的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 連接BD，設Q是AD的中點，連接PQ，BQ，通過證明AD⊥平面PBQ，證出AD⊥PB；
（Ⅱ）平面PDA⊥平面ABCD∴PQ⊥平面ABCD以Q為坐標原點，QA，QB，QP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，利用向量的方法求解．
（Ⅲ） 利用平面APD的法向量與平面PBD的法向量的夾角求二面角A-PD-B的余弦值．

解答：解：（Ⅰ） 連接BD，
∵ABCD是菱形，且∠BAD=60°
∴△ABD是等邊三角形   …（1分）
設Q是AD的中點，連接PQ，BQ，則BQ⊥AD，
∵△APD是等腰直角三角形
∴PQ⊥AD…（2分）
∵PQ∩BQ=Q…（3分）
∴AD⊥平面PBQ，
∴AD⊥PB…（4分）
（Ⅱ）∵平面PDA⊥平面ABCD
∴PQ⊥平面ABCD
以Q為坐標原點，QA，QB，QP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系          …（5分）
則D（-1，0，0），M（

1

2

，0，

1

2

），P（0，0，1），B（0，

3

，0）
∴

DM

=(

3

2

，0，

1

2

)

，& PB

=(0，

3

，-1)…（7分）
∴cos＜

DM

，

PB

＞=

DM • PB

| DM | |PB|

=

10

20

異面直線DM與PB所成角的余弦值為

10

20

…（9分）
（Ⅲ）∵BQ⊥平面APD
∴平面APD的法向量為

m

=(0，0，1)…（10分）
設平面PBD的法向量為

n

=(x，y，z)
∵

DB

=(1，

3

，0)，

DP

=(1，0，1)
∴

n

×

DB

=0，

n

×

DP

=0，
∴x+

3y

=0，x+z=0，
令x=1，可得：

n

=(1，-

3

3

，-1)…（12分）
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=-

7

7

由圖形可知，二面角A-PD-B為銳角，
∴二面角A-PD-B的余弦值為

7

7

…（14分）

點評：本題考查空間直線、平面位置關系的判斷，二面角大小求解，考查空間想象能力、推理論證、計算、轉化能力．利用向量這一工具，解決空間幾何體問題，能夠降低思維難度．但要注意有關點及向量坐標的準確性．