Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，且an=3an-1+2n-1(n∈N*且n≥2)，
（1）證明數(shù)列{an+2n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法，可得an+2n=3(an-1+2n-1)，從而可知{an+2n}是以a1+21即為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列；
（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)，再分組求和，即可求得數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答：解：（1）設(shè)an+A•2n=3(an-1+A•2n-1)，整理得an=3an-1+A•2n-1，
對(duì)比an=3an-1+2n-1，得A=1．
∴an+2n=3(an-1+2n-1)，
∴{an+2n}是以a1+21即為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，
（2）由（1）知an+2n=3•3n-1=3n，
∴an=3n-2n，n∈N*，
∴Sn=(31-21)+(32-22)+(33-23)+  …+(3n-2n)=(31+32+33+…+3n)-(21+22+23+…+2n)=

3(1-3n)

1-3

-

2(1-2n)

1-2

=

3n+1

2

-2n+1+

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查構(gòu)造法證明等比數(shù)列，考查數(shù)列的求和，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造新數(shù)列，證明等比數(shù)列，掌握數(shù)列求和的方法．