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精英家教網如圖,在四棱錐p-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,AB∥CD,∠BAD=90°,PA⊥平面ABCD,AB=1,AD=2,PA=CD=4.
(Ⅰ)求證:BD⊥PC;
(Ⅱ)求二面角B-PC-A的余弦值.
分析:(1)以A為原點,建立如圖所示空間直角坐標系,求出
PC
BD
的坐標,利用它們的數量積為零證得BD⊥OC;
(2)易證
BD
為面PAC的法向量,求出面PBC的法向量
n
,然后求出兩法向量的夾角,利用兩平面的法向量的夾角與二面角的平面角相等或互補,即可求得二面角B-PC-A的余弦值.
解答:精英家教網證明:(Ⅰ)以A為原點,建立如圖所示空間直角坐標系,
則B(0,1,0),C(-2,4,0),D(-2,0,0),P(0,0,4),
PC
=(-2,4,-4)
BD
=(-2,-1,0)

PC
BD
=0

所以PC⊥BD.
(Ⅱ)易證
BD
為面PAC的法向量,
設面PBC的法向量n=(a,b,c),
PB
=(0,1,-4),
BC
=(-2,3,0)

所以
n
PB
=0
n
BC
=0
?
b=4c
a=6c

所以面PBC的法向量n=(6,4,1),
∴cosθ=-
16
265

因為面PAC和面PBC所成的角為銳角,
所以二面角B-PC-A的余弦值為
16
265
點評:本題主要考查了平面與平面之間的位置關系,考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力,屬于基礎題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2
2
,∠PAB=60°.
(1)證明AD⊥PB;
(2)求二面角P-BD-A的正切值大小.

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,AB=4,PA=3,點A在PD上的射影為點G,點E在AB上,平面PEC⊥平面PDC.
(1)求證:AG∥平面PEC;
(2)求AE的長;
(3)求二面角E-PC-A的正弦值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠BCD=120°,BC⊥AB,CD⊥AD,BC=CD=PA=a,
(Ⅰ)求證:平面PBD⊥平面PAC.
(Ⅱ)求四棱錐P-ABCD的體積V.

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長為a的菱形,∠ABC=60°PD⊥面ABCD,PC=a,E為PB中點
(1)求證;平面ACE⊥面ABCD;
(2)求三棱錐P-EDC的體積.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2008•武漢模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,BC∥AD,且∠BAD=90°,又PA⊥底面ABCD,BC=AB=PA=1,AD=2.
(1)求二面角P-CD-A的平面角正切值,
(2)求A到面PCD的距離.

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同步練習冊答案
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