Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x+2）-x²+bx+c
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在點x=1處的切線與直線3x+7y+2=0垂直，且f（-1）=0，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，3]上的最小值；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間[0，1]上為單調(diào)減函數(shù)，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)f（x）在點x=1處的切線與直線3x+7y+2=0垂直，求得b的值，利用f（-1）=0，求得c的值，可得函數(shù)解析式，再確定函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，3]上的單調(diào)性，即可求得f（x）在區(qū)間[0，3]上的最小值；
（Ⅱ）f（x）是減函數(shù)等價于f′(x)=

1

x+2

-2x+b≤0，即b≤2x-

1

x+2

恒成立，求出右邊函數(shù)的最小值，即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，可得f′(x)=

1

x+2

-2x+b
∵函數(shù)f（x）在點x=1處的切線與直線3x+7y+2=0垂直，
∴f′（1）=

7

3

，∴

1

3

-2+b=

7

3

，∴b=4
又f（-1）=ln（2-1）-1-4+c=0，∴c=5  
∴f（x）=ln（x+2）-x²+4x-5，∴f′(x)=

1

x+2

-2x+4
由f′(x)=

1

x+2

-2x+4=0得x=

3 2

2

∴當(dāng)x∈[0，

3 2

2

]時，f′（x）≥0，f（x）單調(diào)遞增
當(dāng)x∈[

3 2

2

，3]時，f′（x）≤0，f（x）單調(diào)遞減
又f（0）=ln2+5，f（3）=ln5+8，所以f（x）在[0，3]最小值為ln2+5；
（Ⅱ）因為f（x）是減函數(shù)，所以f′(x)=

1

x+2

-2x+b≤0，即b≤2x-

1

x+2

恒成立
令t=2x-

1

x+2

，則t′=2+

1

(x+2)2

，
∴t=2x-

1

x+2

，在[0，1]上單調(diào)遞增
∴t_min=-

1

2

所以當(dāng)b≤-

1

2

時，f（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞減．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的最值，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分離參數(shù)法的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．