Question

設α，β，γ是三個不同的平面，a，b是兩條不同的直線，給出下列4個命題：
①若a∥α，b∥α，則a∥b；②若a∥α，b∥β，a∥b，則α∥β；
③若a⊥α，b⊥β，a⊥b，則α⊥β；④若a，b在平面α內的射影互相垂直，則a⊥b．
其中正確命題的序號是    ．

Answer 1

【答案】分析：對于命題①②④，只要把相應的平面和直線放入長方體中，找到反例即可，對于命題③，根據利用空間向量法求二面角的大小的思想來加以說明即可．
解答：解：在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中
①：平面AC為平面α，直線A₁D₁，和直線A₁B₁分別是直線a，b，
顯然滿足a∥α，b∥α，而a與b相交，故命題①不正確；
②：平面AC為平面α，平面AD₁為平面β，
直線A₁D₁，和直線BC分別是直線a，b，
顯然滿足a∥α，b∥β，a∥b，而α與β相交，故命題②不正確；
③分別求直線a，b的一個方向向量，
∵a⊥b，∴
∵a⊥α，b⊥β，
∴
∴α⊥β；
④平面AC為平面α，直線AD₁，和直線CD₁分別是直線a，b，
顯然滿足a，b在平面α內的射影互相垂直，而a，b不垂直．
故答案我③．
點評：此題是個基礎題．考查面面平行的判定和性質定理，要說明一個命題不正確，只需舉一個反例即可，否則給出證明；考查學生靈活應用知識分析解決問題的能力．