Question

已知a＞0，f（x）=a•e^x是定義在R上的函數，函數，并且曲線y=f（x）在其與坐標軸交點處的切線和曲線y=f^-1（x）在其與坐標軸交點處的切線互相平行．
（1）求a的值；
（2）設函數，當x＞0且x≠1時，不等式恒成立，求實數m的取值集合．

Answer 1

解：（1）由已知條件可知：函數f（x）=a•e^x（x∈R），所以曲線y=f（x）只與y軸有交點M（0，a）；函數，所以曲線y=f^-1（x）只與x軸有交點N（a，0）．
而，
有 f'（0）=[f^-1（a）]'，即 ?a=±1．
而a＞0，即a=1．
（2）由（1）可得，從而有
當x＞0且x≠1時，．
①當x∈（0，1）時，
令，則
再令，則
當x∈（0，1）時，，所以h（x）＞h（1）=0，進而
所以有φ（x）＜φ（1）=1，這樣此時只需m≥1即可；
②當x∈（1，+∞）時，
令，則
再令，則
當x∈（1，+∞）時，，所以h（x）＞h（1）=0，進而
所以有φ（x）＞φ（1）=1，這樣此時只需m≤1即可；
根據題意，①②兩種情形應當同時成立，因此m=1，即其取值集合為{1}
分析：（1）由已知條件可知：函數f（x）=a•e^x（x∈R），所以曲線y=f（x）只與y軸有交點M（0，a）；函數，所以曲線y=f^-1（x）只與x軸有交點N（a，0）．利用在其與坐標軸交點處的切線互相平行，可得f'（0）=[f^-1（a）]'，從而可求a=1．
（2）由（1）可得，從而有當x＞0且x≠1時，．①當x∈（0，1）時，；②當x∈（1，+∞）時，
從而可解．
點評：本題以函數為載體，考查導數的幾何意義，考查恒成立問題，有一定的難度．