Question

設函數f（x）=x²+2bx+c，c＜b＜1，f（1）=0且方程f（x）+1=0有實數根．
（1）證明：-3＜c≤-1，且b≥0；
（2）若m是方程f（x）+1=0的一個實數根，判斷f（m-4）的符號，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）由f（1）=0，找到b與c的關系，再由b的范圍，求得c的范圍，再由方程f（x）+1=0有實數根，進一步求得c的范圍，前后范圍取交集．
（2）先明確函數f（x）=x²+2bx+c的圖象與x軸交于A（c，0）、B（1，0）兩點，再由f（m）=-1＜0，確定m范圍，進而確定m-4的范圍，通過兩個交點A，B確定其符號．

解答：解：（1）∵f（1）=0，∴1+2b+c=0；
∴b=-

c+1

2

．
又c＜b＜1，
故c＜-

c+1

2

＜1．即-3＜c＜-

1

3

．
又f（x）+1=0有實數根．
即x²+2bx+c+1=0有實數根．
∴△=4b²-4（c+1）≥0；
即（c+1）²-4（c+1）≥0；
∴c≥3或c≤-1；
又-3＜c＜-

1

3

，取交集得-3＜c≤-1，
由b=-

c+1

2

知b≥0．
（2）f（x）=x²+2bx+c
=x²-（c+1）x+c
=（x-c）（x-1）．
∴函數f（x）=x²+2bx+c的圖象與x軸交于A（c，0）、B（1，0）兩點；
∵f（m）=-1＜0，∴c＜m＜1；
∴c-4＜m-4＜1-4＜c；
∴m-4＜c．
∵f（x）=x²+2bx+c在（-∞，c）上遞減，
∴f（m-4）＞f（c）=0．
∴f（m-4）的符號為正．

點評：本題屬代數推理題，將二次函數、二次方程與不等式結合起來考查．探求二次函數背景下的不等式問題，實質是將二次函數的有關性質進行適當轉化．