Question

（2013•韶關一模）設f（x）在區間I上有定義，若對?x₁，x₂∈I，都有f(

x1+x2

2

)≥

f(x1)+f(x2)

2

，則稱f（x）是區間I的向上凸函數；若對?x₁，x₂∈I，都有f(

x1+x2

2

)≤

f(x1)+f(x2)

2

，則稱f（x）是區間I的向下凸函數，有下列四個判斷：
①若f（x）是區間I的向上凸函數，則-f（x）在區間I的向下凸函數；
②若f（x）和g（x）都是區間I的向上凸函數，則f（x）+g（x）是區間I的向上凸函數；
③若f（x）在區間I的向下凸函數，且f（x）≠0，則

1

f(x)

是區間I的向上凸函數；
④若f（x）是區間I的向上凸函數，?x₁，x₂，x₃，x₄∈I，則有f（

x1+x2+x3+x4

4

）≥

f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)

4

其中正確的結論個數是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：對于①②④直接利用函數是“凸函數”的定義，通過放縮法證明即可；對于③利用舉反例的方法結合圖象法即可進行判斷．

解答：解：①若f（x）是區間I的向上凸函數，則對?x₁，x₂∈I，都有f(

x1+x2

2

)≥

f(x1)+f(x2)

2

，
∴-f(

x1+x2

2

)≤

-f(x1)-f(x2)

2

，
∴-f（x）在區間I的向下凸函數；正確．
②若f（x）和g（x）都是區間I的向上凸函數，則對?x₁，x₂∈I，都有f(

x1+x2

2

)≥

f(x1)+f(x2)

2

，
g(

x1+x2

2

)≥

g(x1)+g(x2)

2

，兩式相加得f(

x1+x2

2

)+g(

x1+x2

2

)≥

f(x1)+f(x2)

2

+

g(x1)+g(x2)

2

∴f（x）+g（x）是區間I的向上凸函數；正確．
③若f（x）在區間I的向下凸函數，且f（x）≠0，則

1

f(x)

不一定是區間I的向上凸函數；
如f（x）=e^x，

1

f(x)

=(

1

e

)x，如圖，

它們都是向下凸函數．故錯．
④若f（x）是區間I的向上凸函數，
?x₁，x₂，x₃，x₄∈I，則有f（

x1+x2+x3+x4

4

）=f（

x1+x2 2 + x3+x4 2

2

）≥

f( x1+x2 2 )+f( x3+x4 2 )

2

≥

f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)

4

，故正確．
其中正確的結論個數是3．
故選C．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用以及放縮法證明問題的步驟，新定義的應用，考查分析問題與解決問題的能力．