Question

已知函數(shù)f（x）=x²-ax+4+2lnx
（I）當(dāng)a=5時，求f（x）的單調(diào)遞減函數(shù)；
（Ⅱ）設(shè)直線l是曲線y=f（x）的切線，若l的斜率存在最小值-2，求a的值，并求取得最小斜率時切線l的方程；
（Ⅲ）若f（x）分別在x₁、x₂（x₁≠x₂）處取得極值，求證：f（x₁）+f（x₂）＜2．

Answer 1

【答案】分析：（I）當(dāng)a=5時，利用導(dǎo)數(shù)求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，由切線l的斜率存在最小值-2，求a的值，并求取得最小斜率時切線l的方程；
（Ⅲ）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，利用極值證明不等式．
解答：解：（I）因為函數(shù)的定義域為{x|x＞0}，
當(dāng)a=5時，f（x）=x²-5x+4+2lnx，==，
所以由f'（x）＜0，解得，
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）．
（Ⅱ）因為x＞0，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號．因為直線l的斜率存在最小值-2，
所以4-a=-2，即a=6．
當(dāng)l取得最小斜率時，因為f（-1）=-1，即切點為（1，-1）．
從而切線方程l：y+1=-2（x-1），即：2x+y-1=0．
（Ⅲ），
因為f（x）分別在x₁、x₂（x₁≠x₂）處取得極值，
所以x₁、x₂（x₁≠x₂）是方程，
即2x²-ax+2=0的兩個不等正根．
則△=a²-16＞0解得a²＞16，且．
從而f（x₁）+f（x₂）=
=
=，
因為a²＞16，所以．
即不等式f（x₁）+f（x₂）＜2成立．
點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值之間的關(guān)系，運(yùn)算量較大．