Question

如圖，棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=．
（Ⅰ）求點C到平面PBD的距離．
（Ⅱ）在線段PD上是否存在一點Q，使CQ與平面PBD所成的角的正弦值為，若存在，指出點Q的位置，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=，底面ABCD是矩形，我們易求出棱錐V_P-BCD的體積，再根據V_P-BCD=V_C-PBD，我們只要求出△PBD的面積，然后代入棱錐體積公式，即可求出點C到平面PBD的距離．
（II）以A為原點，分別以AB，AD，AP為X，Y，Z軸的正方向建立空間坐標系，則我們易給出各個點的坐標，進而求出CQ的方向向量和平面PBD的法向量，然后根據CQ的方向向量和平面PBD的法向量的夾角的余弦值等于CQ與平面PBD所成的角的正弦值，構造方程，即可求出Q的坐標．
解答：解：（Ⅰ）在Rt△BAD中，AD=2，BD=，
∴AB=2，ABCD為正方形，因此BD⊥AC．（1分）
∵PA=AB=AD=2，∴PB=PD=BD=（2分）
設C到面PBD的距離為d，由V_P-BCD=V_C-PBD，
有，
即，（4分）
得（5分）

（Ⅱ）如圖建立空間直角坐標系
因為Q在DP上，所以可設，（6分）
又∵，
∴Q（0，2-2λ，2λ），∴．（8分）
易求平面PBD的法向量為，（10分）
所以設CQ與平面PBD所成的角為θ，則有：=（12分）
所以有，，∵0＜λ＜1，∴（13分）
所以存在且（14分）
點評：本題考查的知識點是空間點、線、面的距離計算，及直線與平面所成的解，（I）中利用V_P-BCD=V_C-PBD，是解答的關鍵，（II）中求出直線與平面的方向向量和平面的法向量，將線面夾角的正弦值，轉化為兩個向量的余弦是解答的關鍵．