Question

通過研究學生的學習行為，心理學家發現：學生的接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時間．講課開始時，學生的興趣激增；中間有一小段時間，學生的興趣保持較理想狀態，隨后學生的注意力開始分散．研究結果表明：若用f(x)表示學生接受和掌握概念的能力(f(x)的值越大，表示接受的能力越強)，用x表示提出和講授概念的時間(單位：分鐘)，可有以下的公式：f(x)＝

(1)講課開始后多少分鐘，學生的接受能力最強？能維持多長時間？

(2)講課開始后5分鐘與講課開始后20分鐘比較，何時學生的接受能力更強？

(3)一道數學難題，需要55的接受能力以及13分鐘的時間，老師能否在學生一直處于所需接受能力的狀態下講完這個難題？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)當0＜x≤10時，f(x)＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1×(x－13)2＋59.9，此時f(x)是增函數，且最大值為f(10)＝59； 　　當10＜x≤16時，f(x)＝59，是常數； 　　當16＜x≤30時，f(x)是減函數，所以f(x)＜－3×16＋107＝59． 　　因此，講課開始后10分鐘，學生的接受能力最強(值為59)，并能維持6分鐘． 　　(2)f(5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝53.5； 　　f(20)＝－3×20＋107＝47＜53.5． 　　所以，講課開始后5分鐘，學生的接受能力比講課開始后20分鐘更強． 　　(3)當0＜x≤10時，令f(x)＝55，則－0.1x2＋2.6x＋43＝55，解得x＝6，或x＝20(舍)； 　　當10＜x≤16時，f(x)＝59＞55，學生的接受能力滿足要求； 　　當16＜x≤30時，令f(x)＝55，則－3x＋107＝55，解得x＝17． 　　所以，學生達到或超過55的接受能力的時間段是：從講課開始后6分鐘到第17分鐘，長度為11(分鐘)＜13(分鐘)， 　　因此，老師不能在學生一直處于所需接受能力的狀態下講完這個難題． 　　點評：解本題的關鍵是善于根據分段函數的解析式讀取信息：先分類討論各段上函數的單調性和最值；再合并為整個函數的性質；最后由性質作出判斷，解決實際問題．