Question

已知數列，，…，，…，S_n為該數列的前n項和，
（1）計算S₁，S₂，S₃，S₄，
（2）根據計算結果，猜想S_n的表達式，并用數學歸納法進行證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）按照數列和的定義計算即可
（2）按照數學歸納法的證明步驟進行證明．
解答：解：（1）S₁==，
S₂==，
S₃=S₂+=，
S₄=S₃+=．
推測S_n=（n∈N*）．用數學歸納法證明如下：…（5分）
（1）當n=1時，S₁==，等式成立
（2）假設當n=k時，等式成立，
即S_k=，那么當n=k+1時，
S_k+1=S_k+
=+
=
=
=
=
也就是說，當n=k+1時，等式成立．
根據（1）和（2），可知對一切n∈N*，等式均成立…（10分）
點評：本題主要考查數學歸納法的應用，用歸納法證明數學命題時的基本步驟：（1）檢驗n=1成立（2）假設n=k時成立，由n=k成立推導n=k+1成立，要注意由歸納假設到檢驗n=k+1的遞推．