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設數列{an}的首項a1∈(0,1),an=
3-an-1
2
,n=2,3,4…
(1)求{an}的通項公式;
(2)設bn=an
3-2an
,求證bn<bn+1,其中n為正整數.
分析:(1)由題條件知1-an=-
1
2
(1-an-1)
,所以{1-an}是首項為1-a1,公比為-
1
2
的等比數列,由此可知an=1-(1-a1)(-
1
2
)n-1

(2)方法一:由題設條件知0<an
3
2
,故bn>0.那么,bn+12-bn2=an+12(3-2an+1)-an2(3-2an)=
9an
4
(an-1)2.
由此可知bn<bn+1,n為正整數.
方法二:由題設條件知0<an
3
2
an≠1
,所以bn+1=an+1
3-2an+1
=
(3-an)
an
2
.由此可知bn<bn+1,n為正整數.
解答:解:(1)由an=
3-an-1
2
,n=2,3,4

整理得1-an=-
1
2
(1-an-1)

又1-a1≠0,所以{1-an}是首項為1-a1,公比為-
1
2
的等比數列,得an=1-(1-a1)(-
1
2
)n-1

(2)方法一:
由(1)可知0<an
3
2
,故bn>0.
那么,bn+12-bn2
=an+12(3-2an+1)-an2(3-2an
=(
3-an
2
)2(3-2×
3-an
2
)-
a
2
n
(3-2an)

=
9an
4
(an-1)2.

又由(1)知an>0且an≠1,故bn+12-bn2>0,
因此bn<bn+1,n為正整數.
方法二:
由(1)可知0<an
3
2
an≠1

因為an+1=
3-an
2

所以bn+1=an+1
3-2an+1
=
(3-an)
an
2

由an≠1可得an(3-2an)<(
3-an
2
)3

a
2
n
(3-2an)<(
3-an
2
)2an

兩邊開平方得an
3-2an
3-an
2
an

即bn<bn+1,n為正整數.
點評:本題考查數列的綜合應用,難度較大,解題時要認真審題,注意挖掘題設中的隱含條件.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

設數列{an}的首項a1=
3
2
,前n項和為Sn,且滿足2an+1+Sn=3( n∈N*).
(Ⅰ)求a2及an
(Ⅱ)求滿足
18
17
S2n
Sn
8
7
的所有n的值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

設數列{an}的首項a1=a≠
1
4
,且an+1=
1
2
an
(n為偶數)
an+
1
4
(n為奇數)
,n∈N*,記bn=a2n-1-
1
4
cn=
sinn
|sinn|
bn
,n∈N*
(1)求a2,a3
(2)判斷數列{bn}是否為等比數列,并證明你的結論;
(3)當a>
1
4
時,數列{cn}前n項和為Sn,求Sn最值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

設數列{an}的首項a1=
1
2
,且an+1=
2an
1+an
(n∈N*).
(1)求a2,a3,a4
(2)根據上述結果猜想數列{an}的通項公式,并用數學歸納法加以證明.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2012•昌平區二模)設數列{an}的首項a1=-
1
2
,前n項和為Sn,且對任意n,m∈N*都有
Sn
Sm
=
n(3n-5)
m(3m-5)
,數列{an}中的部分項{abk}(k∈N*)成等比數列,且b1=2,b2=4.
(Ⅰ)求數列{an}與{bn}與的通項公式;
(Ⅱ)令f(n)=
1
bn+1
,并用x代替n得函數f(x),設f(x)的定義域為R,記cn=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n
n
)(n∈N*)
,求
n
i=1
1
cici+1

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科目:高中數學 來源: 題型:

設數列{an}的首項a1=
5
4
,且an+1=
1
2
a
n
,n為偶數
an+
1
4
,n為奇數
,記bn=a2n-1-
1
4
,n=1,2,3,…
(Ⅰ)求數列{bn}的通項公式;
(Ⅱ)若設數列{cn}的前n項和為Sn,cn=nbn,求Sn

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