Question

設數列{a_n}的首項a₁∈（0，1），a_n=

3-an-1

2

，n=2，3，4…
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設bn=an

3-2an

，求證b_n＜b_n+1，其中n為正整數．

Answer 1

分析：（1）由題條件知1-an=-

1

2

(1-an-1)，所以{1-a_n}是首項為1-a₁，公比為-

1

2

的等比數列，由此可知an=1-(1-a1)(-

1

2

)n-1
（2）方法一：由題設條件知0＜an＜

3

2

，故b_n＞0．那么，b_n+1²-b_n²=a_n+1²（3-2a_n+1）-a_n²（3-2a_n）=

9an

4

(an-1)2.由此可知b_n＜b_n+1，n為正整數．
方法二：由題設條件知0＜an＜

3

2

，an≠1，所以bn+1=an+1

3-2an+1

=

(3-an) an

2

．由此可知b_n＜b_n+1，n為正整數．

解答：解：（1）由an=

3-an-1

2

，n=2，3，4，
整理得1-an=-

1

2

(1-an-1)．
又1-a₁≠0，所以{1-a_n}是首項為1-a₁，公比為-

1

2

的等比數列，得an=1-(1-a1)(-

1

2

)n-1
（2）方法一：
由（1）可知0＜an＜

3

2

，故b_n＞0．
那么，b_n+1²-b_n²
=a_n+1²（3-2a_n+1）-a_n²（3-2a_n）
=(

3-an

2

)2(3-2×

3-an

2

)-

a

2 n

(3-2an)
=

9an

4

(an-1)2.
又由（1）知a_n＞0且a_n≠1，故b_n+1²-b_n²＞0，
因此b_n＜b_n+1，n為正整數．
方法二：
由（1）可知0＜an＜

3

2

，an≠1，
因為an+1=

3-an

2

，
所以bn+1=an+1

3-2an+1

=

(3-an) an

2

．
由a_n≠1可得an(3-2an)＜(

3-an

2

)3，
即

a

2 n

(3-2an)＜(

3-an

2

)2•an
兩邊開平方得an

3-2an

＜

3-an

2

•

an

．
即b_n＜b_n+1，n為正整數．

點評：本題考查數列的綜合應用，難度較大，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件．