Question

選修4-1：幾何證明選講：
如圖，已知⊙為△ABC的外接圓，AF切⊙O于點A，交△ABC的高CE的延長線于點F，BD⊥AC．證明：
（1）∠F=∠DBC；
（2）

AD

DC

=

FE

EC

．

Answer 1

分析：（1）連接ED，利用AF切⊙O于點A，可得∠FAE=∠DCN，再證明∠AEF=∠BDC=90″，即可證得∠F=∠DBC；
（2）由BD⊥AC，CE⊥AB，可得D，E，B，C四點共圓，從而有∠DEC=∠DBC，利用∠F=∠DBC，可得∠DEC=∠F，從而DE∥AF，故可證得結論．

解答：證明：（1）連接ED，則

∵AF切⊙O于點A，∴∠FAE=∠DCB
∵BD⊥AC，FE⊥AB
∴∠AEF=∠BDC=90″
∴∠F=∠DBC；
（2）∵BD⊥AC，CE⊥AB
∴D，E，B，C四點共圓
∴∠DEC=∠DBC
∵∠F=∠DBC
∴∠DEC=∠F
∴DE∥AF
∴

AD

DC

=

FE

EC

點評：本題考查圓中的比例線段，考查四點共圓，考查學生分析問題的能力，屬于中檔題．