Question

設函數f（x）=ax+lnx，g（x）=a²x²．
（1）當a=-1時，求與函數y=f（x）圖象相切且與直線x-y+3=0平行的直線方程
（2）求函數y=f（x）的單調區間
（3）是否存在正實數a，使f（x）≤g（x）對一切正實數x都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知，切線的斜率為1，求出f′（x）后，利用導數的幾何意義即可求出切點的坐標，進而求出切線的方程．
（2）先求導數fˊ（x）然后在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的區間為單調增區間，fˊ（x）＜0的區間為單調減區間．注意對a進行分類討論．
（3）若不等式f（x）≤g（x）對一切正實數x都成立，可以構造函數F（x）=f（x）-g（x）將其轉化為函數恒成立問題，然后根據導函數求出F（x）的最大值，根據F（x）≤0恒成立?F（x）的最大值≤0進行求解

解答：解：（1）當a=-1時，由f（x）=-x+lnx 得f′（x）=-1+

1

x

，令f′（x）=1 得x=

1

2

所以切點坐標為（

1

2

，-

1

2

+ln

1

2

），切線方程為y-（-

1

2

+ln

1

2

）=（x-

1

2

），整理得y=x-1+ln

1

2

．
（2）函數y=f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=a+

1

x

，
當a≥0時，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，f（x）在（0，+∞）上為增函數．
當a＜0時，由f′（x）=0得x=-

1

a

，由f′（x）＞0得x＜-

1

a

，由f′（x）＜0得x＞-

1

a

，此時
f（x）在（0，-

1

a

）上為增函數，f（x）在（-

1

a

+∞）上為減函數．
（3）假設存在正數a，令F（x）=f（x）-g（x）（x＞0）則F（x）_max≤0
由F′（x）=a+

1

x

-2a²x=0，
得：x=

1

a

∵當x＞

1

a

時，F′（x）＜0，∴F（x）為減函數；
當0＜x＜

1

a

時，F′（x）＞0，∴F（x）為增函數．
∴F（x）_max=F（

1

a

）=ln

1

a

∴ln

1

a

≤0，∴a≥1
∴a的取值范圍為[1，+∞）．

點評：（1）用導數解應用題求最值的一般方法是：求導，令導數等于零；求y′=0的根，求出極值點；最后寫出解答．（2）在有關極值應用的問題中，絕大多數在所討論的區間上函數只有一點使得f′（x）=0，且在兩側f′（x）的符號各異，一般稱為單峰問題，此時該點就是極值點，也是最值點