Question

已知：函數f（x）=ax++c（a、b、c是常數）是奇函數，且滿足f（1）=，f（2）=，
（Ⅰ）求a、b、c的值；
（Ⅱ）試判斷函數f（x）在區間（0，）上的單調性并說明理由；
（Ⅲ）試求函數f（x）在區間（0，+∞）上的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由函數是奇函數得f（-x）+f（x）=0代入求得c的值，又因為f（1）=，f（2）=，代入得到a與b的方程，聯立求出a、b即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）的解析式，求出f′（x），在（0，）上得到導函數的正負即可得到函數的單調區間；
（Ⅲ）令導函數等于0求得x=，根據x的取值區間討論導函數的增減性，得到函數的最小值．
解答：解：（Ⅰ）∵函數f（x）是奇函數，則f（-x）+f（x）=0
即-ax-+c+ax++c=0∴c=0
由f（1）=，f（2）=，得a+b=，2a+=解得a=2，b=
∴a=2，b=，c=0
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x+，∴f′（x）=2-
當x∈（0，）時，0＜2x²＜，＞2
∴f′（x）＜0，即函數f（x）在區間（0，）上為減函數．
（Ⅲ）由f′（x）=2-=0，x＞0得x=
∵當x＞，＜2，
∴f′（x）＞0，
即函數f（x）在區間（，+∞）上為增函數．在（0，）上為減函數．
所以f（x）的最小值=f（）=2．
點評：考查學生會用待定系數法求函數的解析式，理解當函數為奇函數時，有f（-x）+f（x）=0成立，會利用導數求閉區間上函數的最值．