Question

已知函數．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及單調增區間；
（Ⅱ）求f（x）在區間上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：將函數解析式先利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡，整理后再利用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡，最后利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，
（Ⅰ）找出ω的值，代入周期公式，即可求出f（x）的最小正周期，由正弦函數的遞增區間即可求出函數f（x）的單調增區間；
（Ⅱ）又x的范圍，求出這個角的范圍，利用正弦函數的圖象與性質求出函數f（x）的值域，即可得到f（x）的最大值與最小值．
解答：解：f（x）=4cosx（sinx+cosx）-1
=2sinxcosx+2cos²x-1
=sin2x+cos2x
=2sin（2x+），
（Ⅰ）∵ω=2，∴T=π；
令2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，
則f（x）的單調增區間為[kπ-，kπ+]，k∈Z；
（Ⅱ）∵-≤x≤，∴-≤2x+≤，
∴-1≤2sin（2x+）≤2，即-1≤f（x）≤2，
則f（x）的最小值為-1，最大值為2．
點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，二倍角的正弦、余弦函數公式，正弦函數的單調性，以及正弦函數的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關鍵．