Question

設函數f（x）=（ax²-bx）e^x的圖象與直線ex+y=0相切于點A，且點A的橫坐標為1．
（1）求a，b的值；
（2）求函數f（x）的單調區間，并指出在每個區間上的增減性．

Answer 1

分析：（1）欲求a，b的值，利用在x=1處的切線斜率，只須求出其斜率的值，故先利用導數求出在x=1處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率，最后列式即得．從而問題解決．
（2）利用導數研究函數的單調區間，先求出f（x）的導數，根據f′（x）＞0求得的區間是單調增區間，f′（x）＜0求得的區間是單調減區間．

解答：解：（1）f′（x）=（2ax-b）e^x+（ax²-bx）e^x=[ax²+（2a-b）x-b]e^x（2分）
由于f（x）的圖象與直線ex+y=0相切于點A，點A的橫坐標為1，則A（1，-e）
所以

f(1)=-e f′(1)=-e

（4分）
即

(a-b)e=-e (3a-2b)e=-e

解得a=1，b=2．（7分）

（2）由a=1，b=2，得f（x）=（x²-2x）e^x，定義域為（-∞，+∞），
f′(x)=(x2-2)ex=(x-

2

)(x+

2

)ex.（9分）
令f'（x）＞0，解得x＜-

2

或x＞

2

；
令f'（x）＜0，解得-

2

＜x＜

2

．
故函數f（x）在區間(-∞，-

2

)，(

2

，+∞)上分別單調遞增，
在區間(-

2

，

2

)上單調遞減．（13分）

點評：本小題主要考查直線的斜率、導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程、利用導數研究函數的單調性等基礎知識，考查運算求解能力．屬于基礎題．