Question

某種項目的射擊比賽，開始時在距目標(biāo)100m處射擊，如果命中記6分，且停止射擊；若第一次射擊未命中，可以進行第二次射擊，但目標(biāo)已經(jīng)在150m處，這時命中記3分，且停止射擊；若第二次仍未命中，還可以進行第三次射擊，此時目標(biāo)已經(jīng)在200m處，若第三次命中則記1分，并停止射擊；若三次都未命中，則記0分，且不再繼續(xù)射擊．已知射手甲在100m處擊中目標(biāo)的概率為

1

2

，他的命中率與其距目標(biāo)距離的平方成反比，且各次射擊是否擊中目標(biāo)是相互獨立的．
（Ⅰ）分別求這名射手在150m處、200m處的命中率；
（Ⅱ）設(shè)這名射手在比賽中得分?jǐn)?shù)為ξ，求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）由題意，這名選手距目標(biāo)xm處的命中率Px=

k

x2

，根據(jù)射手甲在100m處擊中目標(biāo)的概率為

1

2

，求出k，然后可求出這名射手在150m處、200m處的命中率；
（II）這名射手在比賽中得分?jǐn)?shù)為ξ，ξ的可能取值為6、3、1、0，結(jié)合變量對應(yīng)的事件，寫出變量的概率，寫出分布列和期望．

解答：解：（1）由題意，這名選手距目標(biāo)xm處的命中率Px=

k

x2

，∵p100=

1

2

，∴k=5000，（2分）
∴p150=

5000

1502

=

2

9

，p200=

5000

2002

=

1

8

即這名射手在150m處、200m處的命中率分別為

2

9

，

1

8

．（5分）
（2）由題意ξ∈6，3，1，0，（6分）
記100m，150m，200m處命中目標(biāo)分別為事件A，B，C
由（1）知P(ξ=6)=P(A)=

1

2

，P(ξ=3)=P(

.

A

•B)=P(

.

A

)•P(B)=

1

2

×

2

9

=

1

9

，（7分）P(ξ=1)=P(

.

A

•

.

B

•C)=

1

2

×

7

9

×

1

8

=

7

144

，（8分）
P(ξ=0)=1-P(ξ=6)-P(ξ=3)-P(ξ=1)=

49

144

，（9分）
所以隨機變量ξ的分布列為

ξ	6	3	1	0
P	1 2	1 9	7 144	49 144

（10分）Eξ=6×

1

2

+3×

1

9

+1×

7

144

+0×

49

144

=

487

144

（12分）．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查相互獨立事件同時發(fā)生的概率，是一個綜合題，這類問題的解法實際上不困難，只要注意解題的步驟就可以．